【求导公式16个】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式，能够帮助我们快速解决各种数学问题，提高解题效率。以下是常用的16个求导公式，结合文字说明和表格形式进行总结，便于理解和记忆。
一、基本求导公式
1. 常数函数的导数
如果 $ f(x) = C $（C为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $
3. 指数函数的导数
若 $ f(x) = a^x $，则 $ f'(x) = a^x \ln a $
4. 自然指数函数的导数
若 $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
5. 对数函数的导数
若 $ f(x) = \log_a x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
6. 自然对数函数的导数
若 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
7. 正弦函数的导数
若 $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
8. 余弦函数的导数
若 $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
9. 正切函数的导数
若 $ f(x) = \tan x $，则 $ f'(x) = \sec^2 x $
10. 余切函数的导数
若 $ f(x) = \cot x $，则 $ f'(x) = -\csc^2 x $
11. 正割函数的导数
若 $ f(x) = \sec x $，则 $ f'(x) = \sec x \tan x $
12. 余割函数的导数
若 $ f(x) = \csc x $，则 $ f'(x) = -\csc x \cot x $
13. 反三角函数：反正弦函数的导数
若 $ f(x) = \arcsin x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
14. 反三角函数：反余弦函数的导数
若 $ f(x) = \arccos x $，则 $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
15. 反三角函数：反正切函数的导数
若 $ f(x) = \arctan x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $
16. 反三角函数：反余切函数的导数
若 $ f(x) = \text{arccot} x $，则 $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $
二、求导公式表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ f(x) = \text{arccot} x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
三、总结
以上16个求导公式涵盖了基本初等函数的导数计算，包括多项式、指数、对数、三角函数及其反函数。掌握这些公式，不仅可以提升运算速度，还能为后续的积分、极限、微分方程等内容打下坚实的基础。建议在学习过程中多加练习，熟练运用这些公式。
