【求边缘概率密度函数】在概率论与数理统计中，联合概率密度函数描述了两个或多个随机变量同时取值的分布情况。而边缘概率密度函数则是从联合概率密度函数中提取出某一随机变量单独的概率分布特性。通过计算边缘概率密度函数，可以更方便地分析单个变量的行为。
一、边缘概率密度函数的定义
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为 $f_{X,Y}(x,y)$，则：
- X 的边缘概率密度函数 为：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy
$$
- Y 的边缘概率密度函数 为：
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx
$$
二、计算步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定联合概率密度函数 $f_{X,Y}(x,y)$ |
| 2 | 对另一个变量进行积分（对 $y$ 积分得到 $f_X(x)$，对 $x$ 积分得到 $f_Y(y)$） |
| 3 | 确保积分区间正确，根据联合密度函数的定义域进行调整 |
| 4 | 得到边缘概率密度函数后，验证其是否满足概率密度函数的性质（非负性、积分等于1） |
三、示例说明
假设联合概率密度函数为：
$$
f_{X,Y}(x,y) =
\begin{cases}
2e^{-x - y}, & x > 0, y > 0 \\
0, & 其他
\end{cases}
$$
求 X 的边缘概率密度函数：
$$
f_X(x) = \int_{0}^{\infty} 2e^{-x - y} \, dy = 2e^{-x} \int_{0}^{\infty} e^{-y} \, dy = 2e^{-x} \cdot 1 = 2e^{-x}, \quad x > 0
$$
求 Y 的边缘概率密度函数：
$$
f_Y(y) = \int_{0}^{\infty} 2e^{-x - y} \, dx = 2e^{-y} \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = 2e^{-y} \cdot 1 = 2e^{-y}, \quad y > 0
$$
四、表格对比
| 随机变量 | 边缘概率密度函数 | 定义域 |
| X | $f_X(x) = 2e^{-x}$ | $x > 0$ |
| Y | $f_Y(y) = 2e^{-y}$ | $y > 0$ |
五、注意事项
- 边缘概率密度函数是联合概率密度函数的“投影”，反映了单一变量的分布。
- 在实际应用中，若已知联合分布，可以通过积分方法直接求出边缘分布。
- 若变量之间独立，则边缘分布可以直接由联合分布中的对应部分得出。
通过以上步骤和示例，我们可以清晰地理解如何从联合概率密度函数中求出边缘概率密度函数，并进一步分析单个变量的分布特征。
