【七个分布的期望与方差】在概率论与数理统计中，常见的概率分布有多种，每种分布都有其特定的数学期望和方差。这些参数对于理解随机变量的行为、进行统计推断以及实际应用具有重要意义。本文将总结七种常见分布的期望与方差，并以表格形式展示。
一、二项分布（Binomial Distribution）
- 定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布。
- 参数：n（试验次数），p（每次试验成功概率）
- 期望：E(X) = np
- 方差：Var(X) = np(1-p)
二、泊松分布（Poisson Distribution）
- 定义：描述单位时间内事件发生次数的概率分布。
- 参数：λ（单位时间内的平均发生次数）
- 期望：E(X) = λ
- 方差：Var(X) = λ
三、正态分布（Normal Distribution）
- 定义：连续型分布，广泛用于自然和社会科学中的数据建模。
- 参数：μ（均值），σ²（方差）
- 期望：E(X) = μ
- 方差：Var(X) = σ²
四、均匀分布（Uniform Distribution）
- 定义：在区间[a, b]上取值的连续型分布。
- 参数：a（最小值），b（最大值）
- 期望：E(X) = (a + b)/2
- 方差：Var(X) = (b - a)² / 12
五、指数分布（Exponential Distribution）
- 定义：描述事件发生时间间隔的连续型分布。
- 参数：λ（事件发生率）
- 期望：E(X) = 1/λ
- 方差：Var(X) = 1/λ²
六、几何分布（Geometric Distribution）
- 定义：表示首次成功前的试验次数。
- 参数：p（每次试验成功的概率）
- 期望：E(X) = 1/p
- 方差：Var(X) = (1 - p)/p²
七、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
- 定义：从有限总体中不放回抽样时的成功次数。
- 参数：N（总体数量），K（成功数），n（抽样数量）
- 期望：E(X) = n K/N
- 方差：Var(X) = n K/N (N - K)/N (N - n)/(N - 1)
总结表
| 分布名称 | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 二项分布 | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | λ | λ |
| 正态分布 | μ | σ² |
| 均匀分布 | (a + b)/2 | (b - a)² / 12 |
| 指数分布 | 1/λ | 1/λ² |
| 几何分布 | 1/p | (1 - p)/p² |
| 超几何分布 | nK/N | nK/N (N - K)/N (N - n)/(N - 1) |
通过以上总结，可以更清晰地掌握这七种常见分布的数学特征，为后续的统计分析和实际问题建模提供理论依据。
