【平面向量的所有公式】在数学中，平面向量是研究几何图形和物理问题的重要工具。它不仅具有大小，还具有方向，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。为了便于学习和复习，本文对平面向量的基本概念和常用公式进行系统总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向不确定。 |
| 单位向量 | 长度为1的向量，常用于表示方向。 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量。 |
| 相反向量 | 方向相反但长度相等的向量。 |
| 平行向量 | 方向相同或相反的向量。 |
二、向量的运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$ | 向量的加法满足交换律和结合律。 | ||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$ | 向量减法可以看作加上相反向量。 | ||
| 数乘向量 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$ | $k$ 为实数，表示向量的伸缩。 | ||
| 向量的模（长度） | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ | 表示向量的大小。 |
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 将向量单位化，方向不变。 |
三、向量的点积（内积）
| 公式 | 说明 | |||||
| 点积定义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | 两个向量的点积是一个标量。 | ||||
| 几何意义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | $\theta$ 为两向量夹角。 | |
| 正交条件 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 当两向量垂直时，点积为0。 |
四、向量的叉积（外积）
| 公式 | 说明 | |||||||
| 叉积定义 | $\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_2 - a_2b_1$ | 在二维空间中，叉积结果为一个标量，代表面积。 | ||||||
| 几何意义 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | 表示由两向量构成的平行四边形面积。 | |
| 方向判断 | 右手螺旋法则确定方向（在三维中适用）。 |
五、向量的投影
| 公式 | 说明 | |||
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影长度。 |
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量。 |
六、向量的夹角公式
| 公式 | 说明 | |||||
| 夹角计算 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 用于求两个向量之间的夹角。 |
七、向量的坐标表示与基底
| 公式 | 说明 | |
| 基底表示 | $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$ | 其中 $\vec{i}, \vec{j}$ 为标准正交基底。 |
| 向量分解 | $\vec{a} = (x, y)$ | 用坐标形式表示向量。 |
八、向量的共线与垂直判定
| 判定方式 | 公式 |
| 共线 | $\vec{a} = k\vec{b}$，其中 $k$ 为实数。 |
| 垂直 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
总结
平面向量是数学中的重要工具，掌握其基本概念和运算方法对于理解和解决实际问题至关重要。通过对向量的加减、数乘、点积、叉积、投影以及夹角等公式的系统梳理，可以帮助我们更高效地应用向量知识于各种领域。
如需进一步了解三维向量或其他高级内容，可继续深入学习相关章节。
