在几何学中，点到直线的距离是一个重要的概念，它描述的是一个点到一条直线之间的最短距离。这个距离总是垂直于给定的直线。为了更好地理解这一点，我们需要推导出点到直线的距离公式。

已知条件：

假设有一条直线的方程为 \(Ax + By + C = 0\)，以及一个点 \(P(x_1, y_1)\)。

目标：

求点 \(P\) 到直线的距离 \(d\)。

推导过程：

1. 构造辅助线

过点 \(P(x_1, y_1)\) 向直线作垂线，设垂足为 \(Q(x_0, y_0)\)。根据几何性质，这条垂线与直线垂直，因此它们的斜率乘积为 \(-1\)。

2. 直线的斜率

直线 \(Ax + By + C = 0\) 的一般形式可以改写为 \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}\)，所以直线的斜率为 \(-\frac{A}{B}\)（假设 \(B \neq 0\)）。

3. 垂线的斜率

垂线的斜率为 \(\frac{B}{A}\)（因为两条直线垂直时，斜率互为负倒数）。

4. 点 \(Q\) 的坐标

点 \(Q(x_0, y_0)\) 在直线上，因此满足直线方程 \(Ax_0 + By_0 + C = 0\)。同时，点 \(Q\) 也在垂线上，所以点 \(Q\) 满足垂线的参数方程：

\[

y - y_1 = \frac{B}{A}(x - x_1)

\]

将上述两个条件联立求解，即可得到点 \(Q(x_0, y_0)\) 的具体坐标。

5. 计算距离 \(d\)

根据两点间距离公式，点 \(P(x_1, y_1)\) 和点 \(Q(x_0, y_0)\) 的距离为：

\[

d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}

\]

6. 简化公式

经过代数化简后，最终得到点到直线的距离公式为：

\[

d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

\]

公式说明：

- 分子部分 \(|Ax_1 + By_1 + C|\) 表示点 \(P(x_1, y_1)\) 在直线方程中的代入值取绝对值。

- 分母部分 \(\sqrt{A^2 + B^2}\) 是直线的方向向量的模长，用于归一化。

通过以上推导，我们得到了点到直线的距离公式，并且验证了其正确性。这一公式广泛应用于解析几何、计算机图形学等领域，是解决相关问题的重要工具。